正态函数

一、正态分布的定义和标准正态分布

1、正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b（a<b），随机变量X满足（）P（a<X⩽b）

φμσ≈∫abφμ,σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布。

正态分布完全由参数μμ和σσ确定，因此正态分布常记作N（μσ

μ,σ2）。如果随机变量X服从正态分布，则记为（μσ

）X∼N（μ,σ2）。

若（μσ

）X∼N（μ,σ2），则X的均值与方差分别为：μσ

E(X)=μ,D(X)=σ2。

2、标准正态分布

如果随机变量X的概率函数为φ

π

φ(X)=12πe−x22，x∈(−∞,+∞)，那么称X服从标准正态分布，即X~N（0，1）。

3、σ3σ原则

若X~N（μμ，σ

σ2），则对于任何实数a>0，μμμ

μφμσP(μ−a<X≤μ+a)=∫μ−aμ+aφμ,σ(x)dx。

正态总体几乎总取值于区间μσμσ(μ−3σ,μ+3σ)之内。而在此区间以外取值的概率只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μσμ,σ）的随机变量X只取μσμσ(μ−3σ,μ+3σ)之间的值，并简称为σ3σ原则。

4、正态曲线

如果函数为φμσφμ,σ(x)=

πσ

12πσ

μ

σ

e−(x−μ)22σ2，x∈(−∞,+∞)，其中实数μμ和σσσ(σ>0)为参数。我们称φμσφμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

5、正态曲线的特点

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μμ对称；

（3）曲线在x=μμ处达到峰值

σπ

1σ2π；

（4）曲线与x轴之间的面积为1。

（5）当σσ一定时，曲线的位置由μμ确定，曲线随着μμ的变化而沿x轴平移；

（6）当μμ一定时，曲线的形状由σσ确定，σσ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σσ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。