转动惯量积分公式推导

转动惯量积分公式：I=\int_{r_1}^{r_2}\rho(r)^2dV，其中，\rho(r)是半径为 r 的球壳的面密度，dV是球壳的体积微元。

推导过程如下：

假设有一个半径为 R 的球体，其质量为 M。将球体切成许多薄球壳，每个球壳的半径为 r，厚度为 dr。

根据质量守恒定律，每个球壳的质量 dM 等于其面密度 \rho(r) 乘以体积 dV，即：

dM=\rho(r)4\pi r^2dr

对上式进行积分，从 r=0 到 r=R，得到整个球体的质量 M：

M=\int_{0}^{R}\rho(r)4\pi r^2dr

根据转动惯量的定义：I=mr^2，可得球体的转动惯量 I：

I=\int_{0}^{R}\rho(r)r^4dr

因此，球体的转动惯量积分公式为：I=\int_{0}^{R}\rho(r)r^4dr。