正切和差化积公式推导过程

正弦、余弦的和差化积

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

设 α+β=θ,α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

把α,β的值代入,即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

法2

根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(co***+isinb)=cosaco***-sinasinb+i(sinaco***+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosaco***-sinasinb

sin(a+b)=sinaco***+sinbcosa

口诀

正加正,正在前,余加余,余并肩

正减正,余在前,余减余,负正弦

反之亦然

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正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立。