数列的待定系数法

待定系数就是等待着去确定，根据题目条件，得出所求系数的方程，解方程求出。

例如

一元二次函数过(0,1),(2,0),(4,0)三个点求二次函数解析式。

可设二次函数解析式是y=ax²+bx+c，此处的a,b,c就是待定系数。由已知得

1=c,

0=4a+2b+c,

0=16a+4b+c,

解得a=1/8, b=-3/4, c=1

所以解析式是y=x²/8-3x/4+1

用待定系数法求an=Aan-1+B型数列通项

例:数列{an}满足a1=1且an+1+2an=1，求其通项公式。

解:由已知，an+1+2an=1，即an=-2

an-1+1

令an+x=-2(an-1+x)，则an=-2

an-1-3x，于是-3x=1，故x=-13

∴

an-13

=-2(an-1-13

)

故{

an-13

}是公比q为-2，首项为an-13

=23

的等比数列

∴an-13

=23

(-2)n-1=1-(-2)n3

评注:一般地，当A≠1时令an+x=A(an-1+x)有an=A

an-1+(A-1)x，则有

(A-1)x=B知x=BA-1

，从而an+BA-1

=A(an-1+BA-1

)，于是数列{an+BA-1

}是首项为a1+BA-1

、公比为A的等比数列，故an+BA-1

=(a1+BA-1

)An-1，从而

an=(a1+BA-1

)An-1-BA-1

;特别地，当A=0时{an}为等差数列;当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广:对于an=A

an-1+f(n)(A≠0且A∈R)型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。

例:数列{an}满足a1=1且an=2an-1+13n(n≥2)，求an。

解:令an+x•13n=2(an+x•13n-1)则an=2an-1+

2x•13n-1-x•13n=53

x•13n-1=5x•13n

而由已知an=2an-1+13n故5x=1，则x=15

。故an+15

•13n=2(an-1+15

•13n-1)

从而{an+15

•13n}是公比为q=2、首项为a1+15

•13=1615

的等比数列。

于是an+15

•13n=1615

×2n-1，则an=1615

×2n-1-15

•13n=115

(2n+3-13n-1)

评注:一般情况，对条件an=Aan-1+f(n)而言，可设an+g(n)=A[an-1+g(n-1)]，则有Ag(n-1)-g(n)=f(n)，从而只要求出函数g(n)就可使数列{

an+g(n)}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g(n)与an-1+g(n-1)中的对应关系。特别地，当f(n)=B(B为常数)时，就是前面叙述的例8型。

这种做法能否进一步推广呢?对于an=f(n)an-1+g(n)型数列可否用待定系数法求通项公式呢?

我们姑且类比做点尝试:令an+k(n)=f(n)[an-1+k(n-1)]，展开得到

an

=f(n)an-1+f(n)k(n-1)-k(n)，从而f(n)k(n-1)-k(n)=

g(n)，理论上讲，通过这个等式k(n)可以确定出来，但实际操作上，k(n)未必能轻易确定出来，请看下题:

数列{an}满足a1=1且an=n2nan-1+1n+1

，求其通项公式。

在这种做法下得到n2nk(n-1)-k(n)=1n+1

，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k(n)来。

通过Sn求an

例10:数列{an}满足an

=5Sn-3，求an。

解:令n=1，有a1=5an-3，∴a1=34

。由于an

=5Sn-3………①

则

an-1

=5

Sn-1-3………②

①-②得到an-an-1=5(Sn-Sn-1)

∴an-an-1

=5an

故an=-14

an-1，则{an}是公比为q=-14

、首项an=34

的等比数列，则an=34

(-14

)n-1

评注:递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn-Sn-1(n≥2)来求通项公式，具体来说有两类:一是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式;二是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n-1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式。