伴随矩阵秩的公式

伴随矩阵的秩公式推导是|A||A*|=|A|^n， 则|A*|=|A|^(n-1)。

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念 。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：

r(A*) = n, 若r(A)=n

r(A*)=1, 若r(A)=n-1；

r(A*)=0，若r(A)<n-1;

证明如下所示：

若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；

若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;

若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：

AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.