微积分例题及解题步骤

微积分是数学的一个重要分支，其研究对象是函数的变化规律。下面提供一个微积分的例题，并给出解题步骤。

例题：求函数$f(x)=x^2-2x+1$在$x=2$处的导数。

解题步骤：

使用导数的定义公式，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。

将函数$f(x)$代入公式，得到$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$。

将$x=2+\Delta x$代入原函数$f(x)$，得到$f(2+\Delta x)=(2+\Delta x)^2-2(2+\Delta x)+1=4+4\Delta x+\Delta x^2-4-2\Delta x+1=\Delta x^2+2\Delta x+1$。

将$x=2$代入原函数$f(x)$，得到$f(2)=2^2-2\times2+1=1$。

将第3步和第4步的结果代入公式，得到$f'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta x^2+2\Delta x+1-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}(\Delta x+2)=2$。

因此，函数$f(x)=x^2-2x+1$在$x=2$处的导数为$2$。