欧拉方程例题

一个常见的是求解如下的方程：

x^2y'' - xy' + y = 0

为了求解这个方程，我们可以尝试找到一个特殊解。可以猜测一个形式为 y = x^r 的特殊解。

将这个特殊解带入方程中，得到：

(r(r-1)x^r - rx^r + x^r) = 0

整理得：

r(r-1) = 0

从上述等式可以得知，r=0 或者 r=1。

当 r=0 时，特殊解为 y = x^0 = 1。

当 r=1 时，特殊解为 y = x^1 = x。

由于欧拉方程是线性的，特殊解的线性组合也是方程的解。

因此，此欧拉方程的通解为：

y = C1*x^0 + C2*x^1 = C1 + C2x，其中 C1 和 C2 是任意常数。