TAG：罗尔定理的证明

概述： 罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用相当广泛，许多涉及中值定理的证明题都可以用罗尔定理解决。 中值定理证明题的普遍难点在于辅助函数的构造。（甚至可以说这是较早难点，如果告诉你用什么辅助函数，就差不多等于告诉你答案了。）辅助函数的构造法虽千差万别，但也不是毫无规律可循。“条件变形”和“原函数法”是解罗尔定理证明题时两种构造辅助函数的常用方法，本节我们通过几个例题具体介绍。（“条件变形”能解决的题目通常比较容易，我们重点介绍“原函数法”。） 1、用条件变形构造辅助函数的例题。...

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①若要证明 ,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。 例： 设 (其中 均为常数)，证：方程 在 内至少有一个解。 思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。 解： 令 。 由罗尔定理可得： 即原方程至少存在一个解得证。 ②若要证明 ,则考虑构造辅助函数 ,然后使用罗尔定理即可。 此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。 ③若要证明 或者 ,则考虑多次使用罗尔定理。 例1： 设 三阶可导， ...

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