过渡矩阵与坐标变换公式

过渡矩阵是线性代数中的一个概念，用于描述两个不同基之间的转换关系。假设有两个基向量组

\mathbf{B}

B和

\mathbf{B}'

B

′

，过渡矩阵

P

P是满足

P\mathbf{B}=\mathbf{B}'

PB=B

′

的矩阵。过渡矩阵具有一些重要的性质，如可逆性、行列式不为零等。

坐标变换公式则是将一个向量在不同基之间的坐标表示进行转换。假设有一个向量

\mathbf{v}

v在基向量组

\mathbf{B}

B下的坐标为

(x, y, z)

(x,y,z)，在基向量组

\mathbf{B}'

B

′

下的坐标为

(x', y', z')

(x

′

,y

′

,z

′

)，则可以通过过渡矩阵

P

P进行坐标变换，即

(x', y', z')=P(x, y, z)

(x

′

,y

′

,z

′

)=P(x,y,z)。

具体来说，如果基向量组

\mathbf{B}

B和

\mathbf{B}'

B

′

分别为

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}和

{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}

{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}，则过渡矩阵

P

P为

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

1

0

0

0

1

0

1

1

1

。对于向量

(x, y, z)

(x,y,z)，其在基向量组

\mathbf{B}

B下的坐标为

(x, y, z)

(x,y,z)，在基向量组

\mathbf{B}'

B

′

下的坐标则为

(x+z, y+z, z)

(x+z,y+z,z)，即

(x', y', z')=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}(x, y, z)

(x

′

,y

′

,z

′

)=

1

0

0

1

1

0

0

1

1

(x,y,z)。