三角形向量性质的方法

要研究三角形的向量性质，可以使用以下几种方法：

1. 向量表示法：将三角形的顶点用向量表示，例如三角形的顶点A、B、C可以表示为向量a、b、c。通过向量相加、减法、数量积、叉积等运算，可以得到三角形的向量性质，如边向量、角平分线、垂直关系等。

2. 边向量法：将三角形的边向量相加，可以得到零向量（a + b + c = 0），这说明三角形的三边形成了一个封闭的图形。利用边向量的性质，可以研究三角形的平行、垂直、共线等关系。

3. 向量共线法：如果三角形的两边向量共线，即a = kb（k为非零实数），则说明三角形是退化的，三个顶点共线，没有面积。通过判断边向量的共线性，可以判断三角形的形状。

4. 面积向量法：利用向量的叉积运算，可以求得三角形的面积。设两边向量为a和b，则三角形的面积可以表示为1/2 * |a × b|，其中|a × b|表示向量a和b的叉积的模。通过面积向量的性质，可以推导出三角形的高、重心、垂心等特殊点的坐标关系。

5. 坐标表示法：如果已知三角形的顶点坐标，可以利用向量的坐标表示进行计算。将顶点坐标表示为向量形式，通过向量运算和坐标计算，可以得到三角形的向量性质，如边向量、角平分线、垂直关系等。

这些方法可以帮助我们研究三角形的向量性质，了解三角形的形状、位置关系和特殊点的性质。根据具体问题和已知条件，选择合适的方法进行计算和分析。

1、满足a×向量oA+b×向量oB+c×向量oC就行，abc为变长~用[AB]表示向量AB，c表示AB的长：

即[OA]=[OB]+[BA]；

∵a[OA]+b[OB]+c[OC]=0，

∴[OA]={-b[OB]-c[OC]}/a=[OB]+[BA]，

∴(a+b)[OB]+c[OC]+a[BA]=0，

(a+b){[OC]+[BC]}+[OC]+a[BA]=0，

(a+b+c)[OC]+(a+b)[BC]+a[BA]=0，

(a+b+c)[OC]-a[AC]+b[CB]=0，

[OC]*[AC]={ab^2-b[CB]*，

[[AC]}/(a+b+c)=ab^2(1+cos∠C)/(a+b+c),∴cos∠OCA=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)}，

同理得[OC]*[BC]=ba^2(1+cos∠C)/(a+b+c)，

∴cos∠OCB=ab(1+cos∠C)/{|OC|(a+b+c)}，

∴cos∠OCA=cos∠OCB,∴OC平分∠C,同理可证其他两式，

∴O为内心。