等对角四边形定理

是指在四边形ABCD中，对角线互相平分且相等，则该四边形为等对角四边形。

详细来说，假设四边形ABCD为任意四边形，则该四边形对角线交点为O,将四边形ABCD划分为正方形SABCD和平行四边形ASEOF,则对角线AD和BC分别平分正方形SABCD和平行四边形ASEOF对角线。

因此，对角线互相平分且相等，所以对角线交点O是对角线的中和点，即O到每条对角线的距离相等。

又称为帕拉莱尔四边形定理（Parallelogram Law），其表述为：如果两个向量的四边形是一个平行四边形，则这两个向量的平方和等于对角线的平方。

更具体地说，设向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的顶点分别为 $O$ 和 $P$，$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{OP}=\vec{a}+\vec{b}$，则有：

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2=OP^2=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$$

其中，符号 $\cdot$ 表示向量的数量积。

换而言之，如果两个向量的四边形是一个平行四边形，则它们的夹角相等，且其中任意一个角的余弦等于这两个向量的数量积除以它们的模长的乘积。此外，它们的和与差的平方分别等于它们的平方和加上或减去它们的数量积的两倍。

在向量的运算中有着广泛的应用，特别是在力学、电学等自然科学中经常会用到。

平行四边形对角相等（包括矩形，菱形，正方形）。