桂林任远中学是公办的吗

不是，民办学校。

桂林城区，教育局直属的公立高中有：桂林中学、师大附中、十八中、桂林一中、逸仙中学、桂林四中、桂林五中、桂林八中、中山中学、十七中、十九中。民办高中有：师大附外、首师附中、任远中学、师大体附、桂电中学、阳光中学。