共线定理及其推论

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b ，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在较早实数λ，使得b=λa。推论1

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

证明：

1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0得b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。

2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。

推论2

两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。

证明：

1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0可得b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。

2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。

推论3

如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。

证明：（反证法）

不妨假设μ≠0，则由推论1知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。

推论4

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在较早实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。

证明：

∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，

由共线向量基本定理得，

点C在直线AB上<=>向量AC 与 向量AB 共线<=>存在较早实数λ，使 向量AC=λ·向量AB

∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，

∴向量AC=λ·向量AB<=>向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA)<=>向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。

推论5

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在较早一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

证明：

在推论4中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：

三点P、A、B不共线<=>点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

下面证较早性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，

∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，由推论3知，m=λ，n=μ。

推论6

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得

λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

证明：

1）充分性，由推论5知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上<=>存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。

取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。

2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5即知，点C在直线AB上。

推论7

点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

证明：（反证法）

∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。

由推论6知，实数λ、μ、ν不全为零，

1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。

2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。